📐 臺灣法定面積換算 (坪 ↔ m²) KaTeX 嚴密推導

1. 基準物理定義 (Fundamental Physical Quantities)

公制公尺與臺灣傳統臺尺之法定換算標準：

$$1\text{ m} = 3.3\text{ 尺} \iff 1\text{ 尺} = \frac{10}{33}\text{ m}$$

依據「1 步四方為 1 坪（6 台尺 × 6 台尺 = 36 平方台尺）」之土地測量定義：

$$1\text{ 坪} = 6\text{ 尺} \times 6\text{ 尺} = 36\text{ 尺}^2$$

而 1 平方公尺化為臺尺之幾何面積為：

$$1\text{ m}^2 = (3.3\text{ 尺}) \times (3.3\text{ 尺}) = 10.89\text{ 尺}^2$$

2. 平方公尺 換算為 坪 (m² → 坪)

計算 1 平方公尺佔 1 坪（36 平方台尺）之比例：

$$\text{面積}_{(\text{坪})} = \text{面積}_{(\text{m}^2)} \times \frac{10.89\text{ 尺}^2}{36\text{ 尺}^2}$$ $$\frac{10.89}{36} = \frac{1089}{3600} = \frac{121}{400} = 0.3025$$

因分母 400 之質因數僅有 2 與 5（$400 = 2^4 \times 5^2$），於十進位制下可精確除盡為有限小數 0.3025，毫無捨入誤差。

3. 坪 換算為 平方公尺 (坪 → m²)

反向計算 1 坪內包含多少個 1 平方公尺（10.89 平方台尺）：

$$\text{面積}_{(\text{m}^2)} = \text{面積}_{(\text{坪})} \times \frac{36\text{ 尺}^2}{10.89\text{ 尺}^2}$$ $$\frac{36}{10.89} = \frac{3600}{1089} = \mathbf{\frac{400}{121}}$$

因分母 121（$11^2$）無法在十進位整除，展開為循環小數 $3.\overline{30578512396694214876}$。為確保結構與土地產權零誤差，法定有理數恆等式為 $\mathbf{\frac{400}{121}}$。

4. 臺灣法定土地單位延伸體系 (Cadastral System)

$$1\text{ 分} = 293.4\text{ 坪} = 293.4 \times \frac{400}{121}\text{ m}^2 = \frac{117,360}{121}\text{ m}^2 \approx 969.9174\text{ m}^2$$ $$1\text{ 甲} = 2,934\text{ 坪} = 2,934 \times \frac{400}{121}\text{ m}^2 = \frac{1,173,600}{121}\text{ m}^2 \approx 9,699.1736\text{ m}^2$$ $$1\text{ 公頃 (ha)} = 10,000\text{ m}^2 = 10,000 \times 0.3025\text{ 坪} = 3,025\text{ 坪}$$

5. 即時雙向換算驗證 (Live Interactive Verifier)

6. 換算基準對照表 (Data Comparison Summary)

單位名稱	符號	臺尺基準式	公制精確有理數	十進位數值
平方公尺	$\text{m}^2$	$10.89\text{ 尺}^2$	$\frac{121}{400}\text{ 坪}$	$0.3025\text{ 坪}$ (精確整除)
坪	$\text{坪}$	$36\text{ 尺}^2$	$\mathbf{\frac{400}{121}\text{ m}^2}$	$\approx 3.305785\text{ m}^2$ (循環)
分	$\text{分}$	$10,562.4\text{ 尺}^2$	$\frac{117,360}{121}\text{ m}^2$	$\approx 969.9174\text{ m}^2$
甲	$\text{甲}$	$105,624\text{ 尺}^2$	$\frac{1,173,600}{121}\text{ m}^2$	$\approx 9,699.1736\text{ m}^2$
公頃	$\text{ha}$	$108,900\text{ 尺}^2$	$10,000\text{ m}^2$	$3,025\text{ 坪}$ (精確整除)